Дерево

Максимальный прогиб балки

    Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

    Ось х, относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z .

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

    Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.

    В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θх = — θA + Мх/EI + Ax2/2EI — qx3/6ЕI

    например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

θх = — θA + Ax2/2EI = — Ql2/16EI + Qx2/4EI = Q(4×2 — l2)/16EI

    Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

fх = — θAx + Мх2/2EI + Ax3/6EI — qx4/24ЕI

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

fх= — θAx + Ax3/6EI = — Ql2x/16EI + Qx3/12EI = Qx(4×2 — 3l2)/48EI

    На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 < x < l) уравнение будет иметь вид:

fх = — θAx + Ax3/6EI — Q(x — l/2)3/6EI

    Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у.

    Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ

2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА

3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ

    Расчетные схемы для статически неопределимых балок смотри здесь.

Введение

В этом ИДЗ мы проведём полный расчёт балочки на двух опорах (рис.1) под действием произвольной системы изгибающих моментов, сосредоточенных сил, постоянных и линейно распределённых нагрузок, расположенных в вертикальной плоскости.

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов. Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу: там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же выполнение ИДЗ проводится по стандартному сценарию, который обычно используется в вузах при изучении курса сопромата.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script. Включите их.

HOUSEHAND.ru —

Данное пособие позволит вам упростить выполнение ИДЗ. Как и любой помощник, оно не избавляет вас от необходимости думать. Используя это пособие, вы получите техническую помощь, избавитесь от досадных ошибок вычислений, но понимать существо проблемы вы всё равно должны. Но не пугайтесь: если вы смогли найти эту страницу в Internet, то разобраться в выполнении этого задания сможете наверняка.

Выберем систему координат так, как показано на рис.2.

Начало координат O поместим на левом краю, ось Oz направим вдоль оси балки, а оси Ox и Oy − вдоль главных центральных осей инерции. Все силовые факторы считаем действующими в плоскости yOz, как показано на рис.2.

Будем использовать правило знаков плюс-плюс-плюс-плюс:

  • угол поворота сечения θ есть производная от вертикального перемещения w, взятая со знаком плюс;
  • изгибающий момент в сечении M есть производная от угла поворота θ, умноженного на EJx, взятая со знаком плюс;
  • перерезывающая сила в сечении Q есть производная от изгибающего момента M, взятая со знаком плюс;
  • распределённая нагрузка q есть производная от перерезывающей силы Q, взятая со знаком плюс:

В соответствии с выберем положительное направление прогиба w(z) вверх, в сторону положительного направления оси Oy, а отрицательное − вниз (рис.3).

Тогда положительные значения углов поворота θ(z) будут соответствовать возрастанию прогиба w(z), а отрицательные − убыванию (рис.4).

Изгибающий момент − это вторая производная от прогиба (с точностью до положительного множителя) и первая производная от угла поворота θ(z) (опять-таки с точностью до положительного множителя); поэтому положительное значение момента M(z) соответствует увеличению угла поворота θ(z), т.е. изгибу балочки выпуклостью вниз, а отрицательный M(z) − изгибу выпуклостью вверх (рис.5).

При построении эпюр мы будем разрезать балку в данном сечении z, отбрасывать левую часть и заменять её эквивалентной системой сил и моментов. Положительное значение M(z) (выпуклостью вниз) при этом даст момент, направленный по часовой стрелке (рис.6).

Поэтому в исходных данных сосредоточенные моменты будем задавать положительными, если они направлены по часовой стрелке.

Теперь рассмотрим правило знаков для перерезывающих сил. В соответствии с (3) положительной будем считать такую силу Q(z), которая соответствует возрастанию изгибающего момента M(z) при увеличении z. Наглядно представить себе увеличение вогнутости трудно, поэтому применим другое правило для определения знака Q(z). Заменим отрезанную левую часть такой силой, которая соответствует увеличению M(z) (рис.7). Т.к. момент равен произведению силы на плечо, то положительное значение сосредоточенной силы соответствует направлению её вверх. Такая сила стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке.

И, наконец, выведем правило знаков для распределённой нагрузки q(z). Положительная q(z) соответствует возрастанию перерезывающей силы Q(z). На рис.8 показано положительное направление q(z): вверх. Именно такое направление q(z) соответствует возрастанию Q(z).

Итак, подытожим всё вышесказанное. При задании исходных данных будем считать:

  • распределённую нагрузку q положительной, если она направлена вверх;
  • сосредоточенную нагрузку F положительной, если она направлена вверх;
  • сосредоточенный момент M положительным, если он направлен по часовой стрелке.

При построении эпюр будем руководствоваться формулами (1-4). Считаем:

  • перемещение w положительным, если оно направлено вверх;
  • положительный угол поворота θ соответствует возрастанию w;
  • положительный изгибающий момент M соответствует возрастанию θ;
  • положительная перерезывающая сила Q соответствует возрастанию M;
  • положительная распределённая нагрузка q соответствует возрастанию Q.

Ввод исходных данных

В данном методическом пособии можно использовать такие нагрузки:

  • сосредоточенный момент;
  • сосредоточенная сила;
  • постоянная распределённая нагрузка;
  • линейно распределённая нагрузка.

Если в вашем вузе преподаватели задают студентам другие виды нагружения (распределённые моменты и т.п.) − напишите мне, и мы вместе доработаем это пособие.

Исходными данными для выполнения этого ИДЗ являются длина балочки L, места расположения опор a и b и нагрузка на неё: значения M, F, q и точки (интервалы) их приложения. Для подбора двутаврового сечения из условий прочности нужно также задать модуль упругости E и допускаемое напряжение . Задайте их в нижеприведенных областях ввода.

Проверьте, правильно ли вы задали исходные данные. Если да, то идём дальше.

Нахождение реакций опоры

Наша балочка является статически определимой: неизвестные реакции опор могут быть найдены из уравнений статики. Всего таких уравнений в плоском случае 3, но одно из них (сумма проекций всех сил на ось Oz равна нулю) обращается в тождество. Остаётся 2 уравнения: сумма проекций всех сил на ось Oy равна нулю и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки равна нулю:

Из этих уравнений можно найти неизвестные реакции в опорах Ra и Rb (рис.10).

Нам здесь удобнее считать сумму моментов всех сил относительно точек приложения опор A и B, а сумму проекций всех сил на ось Oy использовать в качестве проверки.

Составляем уравнение (6) для моментов относительно точки A. В него войдёт только одна неизвестная реакция опоры − Rb. Решив это уравнение, найдём Rb.

Теперь составляем уравнение вида (6) для моментов относительно точки B. В него войдёт только одна неизвестная реакция опоры − Ra. Решив его, находим Ra.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Переходим к построению эпюр. На каждом участке эпюры M(z) и Q(z) имеют своё аналитическое выражение. Найдём общее число участков и точки переключения аналитических выражений. Этими точками будут начало и конец балочки (т.е. 0 и L), места расположения опор a и b и все точки приложения всех нагрузок (для q берём и начало, и конец приложения нагрузки).

Строим эпюру перерезывающих сил. Чтобы получить Q(z) в каждом сечении z, суммируем все силы слева от него:

где

угловой коэффициент k-й распределённой нагрузки. Для постоянной распределённой нагрузки он равен нулю. В первой сумме ak − точка приложения сосредоточенной силы Fk; в остальных суммах ak и bk − начало и конец приложения распределённой нагрузки. Значения сосредоточенных сил − это Fk, а qak и qbk − значения распределённой нагрузки в начале и конце каждого участка. В первой сумме учитываются все сосредоточенные силы, в т.ч. и реакции опор Ra и Rb, если, конечно, они расположены слева от данного участка. Записываем аналитические выражения для Q(z) на каждом участке и строим график.

Теперь переходим к изгибающим моментам. Формула для их вычисления в каждом сечении − это сумма моментов от всех сил, расположенных слева от данного сечения:

Смысл ak, bk и ck − тот же, что и в предыдущей формуле. Во второй сумме учитываются все сосредоточенные силы, находящиеся слева от данного сечения, в т.ч. и реакции опор. Записываем аналитические выражения для M(z) на каждом участке и строим эпюру.

Подбор сечения по условиям прочности

Найдём максимальный (по модулю) изгибающий момент Mmax и сечение, в котором он достигается (опасное сечение).

Из соотношения:

находим минимально допустимый момент сопротивления сечения:

Проверим теперь касательные напряжения. В каждом сечении они подсчитываются по формуле Журавского:

Найдём касательные напряжения в двух сечениях: в том, где максимален изгибающий момент, и в том, где максимальна перерезывающая сила.

Как правило, касательные напряжения значительно меньше нормальных в одном и том же сечении, к тому же они достигаются на разных волокнах: нормальные − на крайних, а касательные − в середине сечения. Поэтому опасными является обычно нормальные напряжения.

Нарисуем распределение нормальных и касательных напряжений по сечению. Нормальные напряжения распределены линейно, а касательные − по параболе. Мы строим эпюру распределения касательных напряжений приближённо: заменяем двутавр набором прямоугольников. Вычисляем по формуле (12) напряжения в крайних волокнах тонкой вертикальной стойки и во внутренних волокнах широкой горизонтальной полки. На стойке строим параболу, а на короткой полке ограничимся прямолинейным отрезком. Рисуем сечение, распределение нормальных и касательных напряжений в опасном сечении (там, где достигается Mmax), и распределение касательных напряжений в том сечении, где достигаетсяQmax.

Построение эпюр прогибов и углов поворота

Прогибы и углы поворота связаны с изгибающими моментами соотношениями (1-2). Выражения для M(z) у нас есть: это (9). Поэтому EJxθ(z) и EJxw(z) найдём интегрированием выражения (9). При интегрировании появляются произвольные постоянные EJxw0 и EJxθ0, смысл которых − прогиб и угол поворота на левом конце балочки, при z=0, с точностью до множителя EJx:

Здесь опять-таки в слагаемом с сосредоточенными силами Fk нужно учитывать также реакции опор.

Для нахождения этих двух произвольных постоянных EJxw(0) и EJxθ(0) у нас есть два условия: прогибы под опорами должны равняться нулю:

Составляем систему уравнений (15-16), используя формулу (14). Решив её, находим EJxw(0) и EJxθ(0).

По полученным формулам строим эпюры углов поворота и перемещений. Как обычно, вначале формируем аналитические выражения для EJxθ(z) и EJxw(z) на различных участках, а затем строим графики. Находим максимальное перемещение и точку, в которой оно достигается.

Что делать дальше

Возможно, Вы захотите распечатать результаты. Если перебросить содержимое, например, в Office-Word, то формулы и графики исказятся, т.к. они сделаны не в виде рисунков, а в виде встроенных объектов. Поэтому лучше распечатывать страницу непосредственно из обозревателя.

Литература

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. − 2-е изд., перераб. и доп. − Киев: Наукова думка, 1988. − 736 с. − ISSN 5-12-000299-4.

Формулы для расчета прогиба балки

21-01-2013: Доктор Лом

1. Такой прогиб является допустимым согласно общепринятых строительных норм и правил и, так сказать, для общего случая. При превышении допустимого прогиба балка не треснет, если она была предварительно рассчитана на прочность, но такой прогиб может мешать нормальной эксплуатации или эстетическому виду конструкции. Но случаи бывают разные, например, для оштукатуриваемых деревянных конструкций прогиб не должен превышать 1/350 пролета. Вы можете использовать для расчетов это значение.

2. Максимальный прогиб балки будет только при максимальной нагрузке, которая складывается из постоянной и временной (длительной и кратковременной). И прогиб балки также складывается из постоянного и временного. Чем больше доля кратковременной нагрузки (для конструкций по деревянному перекрытию эта доля может составлять более 60%, а для железобетонных плит до 30%, тем больше доля временного прогиба и тем больше вероятность, что напольная керамическая плитка будет отслаиваться или трескаться, или появятся трещины на стыках гипсокартона. Однако не забывайте, что это все равно составит не более 1 см на 4 метра (от кратковременной нагрузки), а это, смею Вас уверить, очень небольшой прогиб (в хрущевках железобетонные плиты размером на комнату иногда имеют прогиб до 10 см на 3 метра и никого это сильно не беспокоит и установке раздвижных дверей не мешает, в частности потому, что доля кратковременного прогиба в таких случаях составляет 10-15%). Указанное Вами ограничение по прогибу 5 мм нужно использовать для расчетов на прогиб только от временной нагрузки, какая она у Вас, я даже приблизительно не представляю.

3. Если Вы собираетесь укладывать на пол по деревянным балкам керамическую плитку, то конечно же Вам потребуются балки, обеспечивающие минимально возможный прогиб, т.е. сечение балки нужно подбирать не по прочности, а по прогибу. И кроме того, черновой пол, который скорее всего будет из досок, также должен минимально прогибаться при действии кратковременной нагрузки. И отслаиваться или трескаться керамическая плитка будет скорее от прогиба чернового пола, чем от прогиба балок.

4. Чтобы уменьшить прогиб балки можно уменьшить расстояние между балками (заодно это уменьшит и прогиб чернового пола), использовать металлические или железобетонные балки (а вообще почитайте статью про укладку плитки на пол).

В статье все вышесказанное заключалось в предложении: "подобрать такое сечение балки, прогиб которой устраивает или Вас или СНиП"

28-05-2013: Игорь

Добрый день Доктор Лом,

У меня вопрос по балкам перекрытия первого этажа.

Есть помещение 6м х 3.8м. Балки размером 3,8м х 0.05м х 0,15м. С шагом 0.55 м. Хочу нагрузить такие перекрытия двумя листами ЦСП вперехлест 12мм и 16мм, и на них положить плитку. Выдержал ли такие перекрытия керамический пол и мебель (кухня). Буду благодарен за ответы.

28-05-2013: Доктор Лом

В вашем случае определяющим будет расчет на прогиб, так как плитка очень не любит деформаций перекрытия и может при этом отслаиваться или трескаться. Достаточно подробно эта тема обсуждалась на форуме (ссылка на форум на главной странице сайта). Однако и по несущей способности нужен брус сечением как минимум 10х15 см, но если балки-лаги будут опираться на столбики, то это совсем другой расчет и многое будет зависеть от расстояния между столбиками.

10-09-2013: Артем

Подскажите пожалуйста. Вопрос по полу в срубе. Планирую лаги 200*100, шаг 60 см положить на цоколь. Пролет в комнате 4,7 м.(комната 4,7*8.3). Возможно ли положить лаги без опорных столбов? По таблице расчета получается прогиб 16 мм и запас по прогибу 1,19 раза. Будет ли пружинить или провисать пол? И еще буду делать в цоколе отверстия под лаги (на цоколь не могу ставить потому что рубщики вырезали окна слишком низко).

Расчет балки на прогиб

На сколько их нужно углублять. Ну и вообще правильно ли я делаю?

10-09-2013: Доктор Лом

Да, можно положить лаги и без опорных столбов, вот только завести их при готовом срубе будет не просто. Как минимум с одной стороны придется делать сквозное отверстие.

По поводу заглубления со второй стороны отвечу так, чем длиннее будет опорная площадка, тем меньше будет деформация цокольного бруса под лагами. Подробности в статьях "Расчет опорной площадки стены на смятие" и "Расчет опорной площадки балки на смятие"

Определенный вами прогиб 1.6 см посредине лаги — это и есть, условно говоря, провисание пола при максимальной действующей нагрузке. Соответственно при минимальной нагрузке прогиба почти не будет. При ходьбе человека весом в 100 кг по середине комнаты прогиб (то, что вы обозначили как пружинные свойства) будет составлять до 2-3 мм. А если прыгать по полу, то и прогиб будет значительно больше. Устраивает вас такой пружинный прогиб или нет — решайте сами.

10-09-2013: Артем

Спасибо большое за развернутый ответ. А то писал на другом крупном форуме- ответили со второго раза, и то неправильно.

24-12-2013: алексей

Будьте так любезны, какой будет прогиб пола для помещения 3,5 м х 4. Предполагаемый сэндвич — балки 100х100х3900 с шагом 500 мм, с штроблением в стены по 200 мм, поперек доска сороковка, сверху плита фанера, на нее ламинат на ширину 2 метра, оставшиеся 1,5 метра плитка.

25-12-2013: Доктор Лом

Указанный вами сэндвич приведет к частичному перераспределению сосредоточенных нагрузок. При равномерно распределенной нагрузке состав сэндвича на несущую способность и на прогиб балок почти не влияет. Прогиб вы относительно легко можете определить по формуле, приведенной в статье, так как ваши балки будут шарнирно опертыми.

05-06-2014: владимир

подскажите пожалуйста как осознать нагрузку 400 кг/м я хочу построить мансарду над гаражом увеличить рабочее пространство .Деревянные балки показывают большой прогиб 7см 3см а если 4,6/250=1,84 см подшивать буду доской чем грозит увеличение прогиба и как узнать более точную нагрузку от моей мастерской

05-06-2014: Доктор Лом

400 кг/м2 — это некая условная равномерно распределенная нагрузка, принимаемая для упрощения расчетов. Если в вашей мастерской стеллажи и всякое оборудование будут расположены возле стен, а посредине мастерской ничего громоздкого не будет, то нагрузка на перекрытие может быть меньше. Чтобы определить, насколько меньше, нужно составить с десяток расчетных схем, учитывающих виды нагрузок и время их приложения.

Если потолок будет подшит доской, то большой прогиб не будет иметь решающего значения, главное, чтобы прочности балок хватало.

04-06-2015: Василий

Добрый вечер, Доктор Лом. Деревянная балка перекрытия сарая сечением 10*10 см работает при проете 2м. По расчетам при увеличении пролета до 3 м сечение балки должно быть 13*13 см. Хочу усилить балку 10*10 двумя стальными уголками, прикрепленными по боковым стенкам балки. Какой номер уголка должен быть, чтобы комбинированная балка была эквивалентна балке 13*13 по прогибу?

04-06-2015: Доктор Лом

Вопрос не обычный, поэтому отвечу с цифрами для большей наглядности и таким образом произведу большую часть расчета.

1. Сначала вам следует определить разницу моментов сопротивления для балок сечением 10х10 и 13х13 см. Эта разница покажет, сколько не хватает до требуемого момента сопротивления деревянной балки. (133 — 103)/6 = 199.5 см3)

2. Определяете соотношение расчетных сопротивлений металла и древесины (например 2000/130 = 15)

3. Затем делите разницу на соотношение расчетных сопротивлений металла и древесины, т.е. переводите эту разницу в эквивалентную для металлической балки. ( 199.5/15 = 13.3 см3)

4. По сортаменту подбираете требуемое сечение (например можно использовать 2 равнополочных уголка сечением 75х5, суммарный момент сопротивления таких уголков составит 7.21х2 = 14.42 см3)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *