Дерево

Как рассчитать дугу

Формула Пепина для расчёта длины дуги АРКИ

Иван Жжуков

Формула Пепина для расчёта длины  дуги АРКИ.

На днях исполнится мне 54 года. На очереди 54 статья по счётчику «Прозы». В свёртке число 54 даёт простое число 9 – точно такое же число получается при свёртке моего полного настоящего ФИО. Пришла идея «отметить» такое совпадение чисел интересной статьёй. Решил опубликовать мою формулу для расчета длины дуги арки. (Первую арку я изготовил, как ни странно, тоже 9 лет назад.)
Кому это нужно?
 Это нужно таким же, как я людям, которые при изготовлении металлоизделий: арочных козырьков, беседок, теплиц  и разного рода крыш — сталкиваются с необходимостью расчетов заготовок для гнутья дуг, скажем из профильной трубы разного размера.
  Арки из металлопрофиля изготавливаются прокатыванием металла в трёхвалковых вальцах. За счёт многократного прокатывания «туда-обратно» прямая заготовка металла приобретает  форму части дуги окружности. Дуга получается, конечно, неточной геометрической копией части окружности. Но  вполне достаточным приближением к окружности. Точность зависит от нескольких факторов: от однородности трубы, от степени износа валов вальцов, от расстояния между валами вальцов и от количества проходов – количества раз прокатывания « туда-обратно». Ну, и конечно от искусства и навыков изготовителя.
Но моя идея состоит в том, что если знать длину заготовки металла для конкретной дуги, то при прокатывании заготовки нужно только замерять расстояние между концами заготовки. И когда при изготовлении дуги расстояние между концами заготовки совпадёт с размером основания дуги (прямой, ограничивающей сегмент дуги снизу), то дуга обретает заданные размеры, она готова.
Но как рассчитать длину дуги, когда обычно для козырька или беседки задаются величина основания сегмента дуги и высоте дуги? Хорошо, если уже есть готовый чертёж, который нарисован архитектором, дизайнером или рекламщиком. Там хотя бы есть радиус дуги.

Расчет арки: особенности, правила и примеры

И тогда можно на подходящей поверхности начертить часть окружности с таким радиусом. При изготовлении первых дуг так приходилось делать:  чертить дугу на земле или на полу. И замерять длину заготовки для дуги, прикладывая к нарисованной дуге рулетку. Потом отрезать заготовку такой длины и прокатывать до совпадения с размером основания сегмента дуги.
  Глядя на то, как красиво вырисовываются дуги в графических редакторах на компьютере, мне всё время думалось, что должна быть такая формула, по которой можно высчитать длину дуги, зная только размеры основания и высоты дуги. Перекопав доступную литературу по математике и по строительству, я не смог найти такую формулу. НО думаю, что, наверное, она где-то есть. Поэтому решил попробовать самому вывести эту формулу. Благо дети учились в старших классах школы и были учебники по геометрии.  И… Вот, с помощью учебника геометрии 10 или 11 класса, точно уже не помню, мне удалось вывести такую формулу. Само доказательство, даже уже приготовленное в виде статьи ещё году в 2005-ом, сгинуло вместе со всей информацией, когда «сдох» очередной жёсткий диск компьютера, но сам способ вычисления длины дуги сегмента остался в виде алгоритма записанного в рабочей тетради, благодаря тому, что я этим алгоритмом постоянно пользуюсь.
 Вот этот метод вычисления длины дуги по основанию и высоте дуги и свою формулу я предлагаю всем заинтересованным людям.
  Посмотрим на рисунок. Допустим нам нужно найти длину верхней дуги изображённой арки. Рисуем на этой арке прямоугольный треугольник. Одним катетом является высота арки – это катет b (катет противолежащий углу альфа). Он же является частью радиуса. Второй катет – a (катет прилежащий к углу альфа), является половиной основания сегмента арки.
 Исходя из величин катетов этого треугольника, мы можем найти длину дуги арки (сегмента) по формуле (3) , которую я нескромно назвал формулой Пепина. (3) 
Как видим, для получения величины длины дуги нам нужно знать угол альфа. Величину этого угла мы можем найти через отношение известных нам размеров катетов, то есть через тангенс угла альфа. Для этого мы согласно формуле (1) поделим величину катета b  на величину катета a.
Сократив (округлив) полученное значения тангенса до тысячной  мы по сокращённой таблице тангенсов Брадиса, приведённой на рисунке, находим значение угла альфа. В колонках tg ; приведена только дробная часть тангенса (для простоты отброшено 0 целых). Как показывает мой опыт, что для удовлетворительной точности изготовления дуги достаточно знать величину градуса с десятой частью угла. Но у нас таблица только с целыми значениями градусов. Если привести с десятыми, то величина таблицы увеличиться тоже в 10 раз. Мне показалось, что тогда долго искать придётся. Желающие, конечно, могут взять полную таблицу тангенсов Брадиса и пользоваться ей. Я поступаю, так нахожу десятую часть градуса с помощью прикидки «в уме». Между целыми градусами разница от 18 до 34 тысячных градуса. Разделив эту разницу  на 10, я получаю значение тангенса для десятой доли угла альфа. И уже, прикинув, сколько не хватает или лишку до ближайшего целого градуса, я нахожу десятичное значение градуса угла альфа. Кто-то, может быть, построит себе таблицу с точностью до десятой доли градуса.

 Далее нам нужно рассчитать величину радиуса дуги R. Для этого выведена формула (2)
                                 
Далее, значения угла альфа и радиуса подставляем в формулу Пепина (3) и получаем длину дуги. Потом, режем заготовку металла такой длины и прокатываем до тех пор, пока расстояние между концами заготовке не станет равным величине основания дуги.
 Прежде чем рассмотреть конкретный пример, напомню, что если у вас дуга равна точно полуокружности, то вы можете воспользоваться классической формулой длины окружности которая равна  Пи R (полуокружность).
  Рассмотрим пример. Пусть у нас высота арки 87 сантиметров , а ширина (величина основания сегмента 256 сантиметров ( 2 метра 56 сантиметров)

Шаг 1.  Формула (1)
Ищем тангенс угла альфа. Для этого поделим 87 сантиметров на половину основания, то есть на 128 сантиметров. Получаем 0,6796875.  Округляя до тысячной – получаем 0, 680. Это значение попадает между 34 и 35 градусами. Между ними разница в 25 «единиц». Значит одной десятой градуса соответствует 2, 5 «единицы». Между значением 34 градуса = 0, 675 и полученными 0, 680  всего пять «единиц».  5 «единиц» поделим на 2, 5 и получаем, что к 34 градусам нужно добавить  2 десятых градуса. Значит, искомая величина угла альфа равна 34, 2 градуса.

Шаг 2.  (Формула  (2)
Вычисляем значение радиуса.  Катет b =  0.87 метра, В квадрате это будет 0,7569. Катет a  = 1.28 метра, следовательно, в квадрате это будет  =1, 6384. Сумма квадратов катетов  = 2,3953. Теперь это число поделим на  удвоенный катет b , что соответствует 1.74 метра. Получаем в результате значения радиуса  равное 1.3766.. метра. Нас устроит такое значение, и даже значение 1,38 метра.
Шаг 3 Формула (3)
 Подставляем полученные значения в формулу Пепина.
Угол 34,2 градуса помножаем на радиус 1.38 метра и помножаем на коэффициент 0.07 (семь сотых) и получаем величину длины дуги = 3, 30372… Для практических целей  берём заготовку длиной 3 метра 30 сантиметров.
Практически у каждых вальцов дуга не прокатывает самые концы дуги из-за того, что между валами вальцов есть расстояние. У меня на небольших вальцах это непрокатываемое  расстояние  всего по семь сантиметров с каждого конца. На качество изделия эти прямые части не влияют. Поэтому я беру заготовки по рассчитанной по формуле (3) величине. Тем, кто хочет иметь более полное соответствие дуги геометрии окружности,  или у кого большие не прокатываемые концы, то для этого следует к рассчитанной длине дуги прибавить удвоенное расстояние не прокатываемого конца, и замерять величину основания с учетом (вычетом) этого удлинения заготовки.
Всем успехов в работе и построение арок, которые находят всё большее и большее применение в нашей жизни!
 Жжуков Иван. 20 октября 2012 года.  г. Орёл.

 Дня через два опубликую эту статью на сайте Гайдпарк, там она будет иметь более удобный для чтения вид.

© Copyright: Иван Жжуков, 2012
Свидетельство о публикации №212102100256

Список читателей / Версия для печати / Разместить анонс / Заявить о нарушении

Другие произведения автора Иван Жжуков

Рецензии

Написать рецензию

Другие произведения автора Иван Жжуков

Калькулятор расчета радиуса лучковой арки

Рубрика: "Домашнему мастеру"

Как сделать арку своими руками?

Начнем с того, что арки бывают разные, по высоте, по форме, и прежде чем приступить к реализации надо четко себе представлять какую именно арку вы хотите у себя сделать. В зависимости от этого, можно определиться с какого материала ее лучше сделать, а затем уже делать конкретные расчеты.

Сами расчеты не сложные, надо вспомнить некоторый формулы из геометрии, а после начертить контур арки на бумаге (миллиметровке) в уменьшенном масштабе. Далее изготовляем шаблон арки, в негативном отображении и уже в реальную величину.

Шаблон можно изготовить из ДВП, фанеры или плотного картона. Имея шаблон, делать остальные расчеты уже намного проще, ведь его можно приложить к месту и обозначить крепление арки и рассчитать другие элементы.

Сегмент круга

Понятно, что арочные конструкции и перекрытия используются очень широко в архитектуре и это обширная тема. В данной статье рассмотрим лишь как сделать арку в частном доме или квартире. Ведь сделанный в виде арки стандартный прямоугольный проем станет тем эксклюзивом, который выгодно будет выделять вашу квартиру от других.

Итак, как делаются расчеты арки?

Мастеру, как правило, известно только три параметра — ширина пролета, который надо перекрыть аркой, высота самой арки и толщина стены (глубина). Наша задача — рассчитать и сделать детали арки, собрать и прочно закрепить ее.

Расчет надо начинать с вычисления приемлемого радиуса окружности арки. Это хорошо делать на бумаге в уменьшенном размере, в масштабе, к примеру 1:50. Берем циркуль, бумагу и чертим сначала в масштабе сам проем, проводим ось симметрии, а затем меняя радиус циркуля, поставив ножку циркуля с иглой на ось симметрии, проводим легкой линией несколько дуг. Подобрав оптимальную, остальные дуги стираем.

Хотя, арка не всегда представляет собой одну дугу окружности. Она может менять изгиб по краям (как в готическом стиле), состоять из 2-3 дуг разного радиуса. И не обязательно арка должна быть симметричной, в таком случае надо рассчитывать каждую дугу отдельно.

Выше описан самый простой способ расчета арки, графический, методом подбора радиуса, но если кому-то ближе математический способ расчета арки — тогда используйте формулу из теоремы Пифагора:

А из нее выводим формулу расчета радиуса окружности арки:

Где, r — это радиус окружности арки, L — половина хорды дуги, h – высота подъема арки.

Если же вы решили сделать арку в готическом стиле, тогда вам надо найти радиус закругления арки на концах. Используя первый способ — это сделать не сложно, надо экспериментальным путем подобрать точку закругления арки и с этой точки провести вниз параллельно стене линию, замерить расстояние и провести точно такую же линию с другой стороны.

Теперь ставим ножку циркуля на эту линию, снимаем расстояние (выставляем радиус) и двигаясь параллельно линии вверх или вниз находим точку где дуга арки и линия стены будут смыкаться второй (меньшей) дугой. То же проделываем на второй стороне чертежа. Все — контур арки готов!

Можно поэкспериментировать, сделать несколько чертежей, тогда будет из чего выбрать. Этот метод расчета арки хорош тем, что вы наглядно видите, как будет выглядеть арка и если надо, можно корректировать чертежи до достижения желаемого результата.

Далее, согласно выбранному масштабу, увеличиваем чертеж в реальную величину, т.е. делаем шаблон, как уже писалось выше, а по шаблону любой мастер может уже изготовить арку.

Материал для арки можно использовать разный, самый простой и дешевый способ, как мне кажется — это гипсокартон. Можно сделать арку и из бетона или кирпича, но поскольку она будет тяжелая, надо делать каркас из арматуры. Арматура легко выгибается, из нее надо сварить каркас, затем посверлить в стенах перфоратором дырки, вбить туда штыри и приварить (закрепить) к ним каркас арки.

Арматурный каркас арки делаем таким образом, чтобы его можно было заполнить кирпичами (просунуть кирпич) или кусками кирпичей с цементным раствором 1:3. Далее, после того как все это схватится, штукатурим арочный проем, подгоняя под шаблон (за несколько подходов).

Из гипсокартона арку делать проще, но она конечно будет не такая прочная и долговечная как из арматуры и кирпича. Из жестяных профилей делается каркас, обшивается гипсокартонном по боках, а внутренний проем (изгиб) обшивают сегментами (разрезают гипсокартон с одной стороны, выгибают и закрепляют саморезами), а затем образовавшиеся грани сглаживают шпатлевкой под шаблон.

Вот собственно и все! Как видите сделать арку своими руками не сложно, хотя поморочиться придется. Но оно того стоит, обыденность уже всем надоела.

Виктор Донской
www.masteru.org.ua

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *